Chapter 11 군집분석 개요
하나의 객체(object)가 여러 속성(attribute)을 갖는다 하고, 이러한 객체가 다수 있다고 하자. 군집분석이란 유사한 속성들을 갖는 객체들을 묶어 전체의 객체들을 몇 개의 그룹 또는 군집(cluster)으로 나누는 것을 말한다.
11.1 필요 R 패키지 설치
본 장에서 필요한 R 패키지들은 아래와 같다.
| package | version |
|---|---|
| tidyverse | 1.3.1 |
| stats | 4.1.3 |
| corrr | 0.4.3 |
| cluster | 2.1.2 |
11.2 군집분석 기법
전체 객체의 개수를 \(n\)이라 하고, \(i\)번째 객체를 \(O_i\)라 할 때, 전체 객체의 집합 \(S\)는 다음과 같다.
\[\begin{equation*} S = \{O_1, \cdots, O_n\} \end{equation*}\]
군집분석이란 집합 \(S\)를 서로 배타적인 \(K\)개의 부분집합 \(C_1, \cdots, C_K\)로 나누는 것이다. 따라서 다음이 성립한다.
\[\begin{equation*} \begin{split} C_i \cap C_j &= \emptyset, \, 1 \leq i \neq j \leq K\\ \cup_{i = 1}^{K} C_i &= S \end{split} \end{equation*}\]
이 때, \(C_j\)를 \(j\)번째 군집(또는 군집 \(j\))이라 한다. 각 객체는 한 군집에만 속하여야 하며, 한 군집에는 적어도 하나의 객체를 포함하여야 한다. 군집들을 다음과 같이 모아놓은 것을 군집결과(clustering result) 또는 군집해(clustering solution)라 한다.
\[\begin{equation*} C = \{C_1, \cdots, C_K\} \end{equation*}\]
군집방법(clustering method)은 무수히 많다. 다음 장들에서 아래에 분류된 방법들을 보다 자세히 다룬다.
- 계층적 방법(hierarchical method)
- 집괴법(agglomerative method)
- 분리법(divisive method)
- 비계층적 방법(non-hierarchical method)
11.3 객체 간의 유사성 척도
11.3.1 거리 관련 척도
각 객체가 \(p\)개의 속성 또는 변수(variable)를 갖는다 하고, \(j\)번째 변수의 객체 \(i\)에 대한 관측치를 \(x_{ji}\)라 하면, 객체 \(i\)의 \(p\)차원 공간에서의 좌표는 아래와 같은 열벡터로 표현된다.
\[\begin{equation*} \mathbf{x}_{i} = [x_{1i} \, x_{2i} \, \cdots \, x_{pi}]^\top \end{equation*}\]
이 때, 객체 \(i\)와 객체 \(j\)의 거리를 나타내는 척도들은 아래와 같은 것들이 있다.
- 유클리드 거리(Euclidean distance)
\[\begin{eqnarray*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) &=& \sqrt{\sum_{a = 1}^{p} \left(x_{ai} - x_{aj}\right)^2}\\ &=& \sqrt{(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)^\top (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)} \end{eqnarray*}\]
- 맨하탄 거리(Manhattan distance)
\[\begin{equation*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \sum_{a = 1}^{p} \left| x_{ai} - x_{aj} \right| \end{equation*}\]
- 민코프스키 거리(Minkowski distance)
\[\begin{equation*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \left( \sum_{a = 1}^{p} \left| x_{ai} - x_{aj} \right|^m \right)^\frac{1}{m} \end{equation*}\]
- 표준 유클리드 거리(standardized Euclidean distance)
\[\begin{eqnarray*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) &=& \sqrt{\sum_{a = 1}^{p} \left(\frac{x_{ai} - x_{aj}}{s_a}\right)^2}\\ &=& \sqrt{(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)^\top \mathbf{S}_d^{-1} (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)} \end{eqnarray*}\]
여기서
\[\begin{eqnarray*} \mathbf{S}_d &=& \begin{bmatrix} s_1^2 & 0 & \dots & 0\\ 0 & s_2^2 & \dots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \dots & s_p^2 \end{bmatrix}\\ s_a &=& \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n} \left(x_{ai} - \bar{x}_a \right)^2}{n - 1}}\\ \bar{x}_a &=& \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{ai} \end{eqnarray*}\]
- 마할라노비스 거리(Mahalanobis distance)
\[\begin{equation*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \sqrt{(\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)^\top \mathbf{S}^{-1} (\mathbf{x}_i - \mathbf{x}_j)} \end{equation*}\]
여기서
\[\begin{eqnarray*} \mathbf{S} &=& \begin{bmatrix} s_1^2 & s_{12} & \dots & s_{1p}\\ s_{21} & s_2^2 & \dots & s_{2p}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ s_{p1} & s_{p2} & \dots & s_p^2 \end{bmatrix}\\ s_{ab} &=& \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{ai} - \bar{x}_a)(x_{bi} - \bar{x}_b)}{n - 1}\\ \bar{x}_a &=& \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} x_{ai} \end{eqnarray*}\]
위와 같은 거리 척도들을 이용하여 객체들의 모든 쌍에 대한 거리를 다음과 같이 \((n \times n)\) 행렬 \(\mathbf{D}\)로 나타낼 수 있다.
\[\begin{equation*} \mathbf{D} = \begin{bmatrix} 0 & d(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2) & \dots & d(\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_n)\\ d(\mathbf{x}_2, \mathbf{x}_1) & 0 & \dots & d(\mathbf{x}_2, \mathbf{x}_n)\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ d(\mathbf{x}_n, \mathbf{x}_1) & d(\mathbf{x}_n, \mathbf{x}_2) & \dots & 0 \end{bmatrix} \end{equation*}\]
아래 표는 가정에서 PC를 사용하는 10명에 대한 나이(\(x_1\)), PC 경험연수(\(x_2\)), 주당 사용시간(\(x_3\))을 나타낸 것이다.
df <- tribble(
~id, ~x1, ~x2, ~x3,
1, 20, 6, 14,
2, 28, 8, 13,
3, 42, 14, 6,
4, 35, 12, 7,
5, 30, 15, 7,
6, 30, 7, 15,
7, 45, 13, 6,
8, 46, 4, 2,
9, 51, 3, 3,
10, 41, 3, 2
)
df %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호', '나이($x_1$)', 'PC 경험연수($x_2$)', '주당 사용시간($x_3$)'),
caption = 'PC 사용 데이터'
)| 객체번호 | 나이(\(x_1\)) | PC 경험연수(\(x_2\)) | 주당 사용시간(\(x_3\)) |
|---|---|---|---|
| 1 | 20 | 6 | 14 |
| 2 | 28 | 8 | 13 |
| 3 | 42 | 14 | 6 |
| 4 | 35 | 12 | 7 |
| 5 | 30 | 15 | 7 |
| 6 | 30 | 7 | 15 |
| 7 | 45 | 13 | 6 |
| 8 | 46 | 4 | 2 |
| 9 | 51 | 3 | 3 |
| 10 | 41 | 3 | 2 |
R 함수 dist를 이용하여 다양한 거리를 계산할 수 있다.
우선 객체 2로부터 객체 4, 5까지의 유클리드 거리는 아래와 같이 계산된다.
dist(df[, c("x1", "x2", "x3")], upper = TRUE) %>%
broom::tidy() %>%
filter(
item1 == 2,
item2 %in% c(4, 5)
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '거리'),
caption = '유클리드 거리'
)| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 거리 |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 10.049876 |
| 2 | 5 | 9.433981 |
위 표에서 나타나는 바와 같이, 객체 2를 기준으로 할 때, 객체 4가 객체 5보다 멀리 떨어져있다고 할 수 있다.
표준화된 거리를 계산하기 위해서는 데이터를 함수 scale을 이용하여 데이터를 표준화한 뒤 dist함수를 적용한다.
dist(scale(df[, c("x1", "x2", "x3")]), upper = TRUE) %>%
broom::tidy() %>%
filter(
item1 == 2,
item2 %in% c(4, 5)
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '거리'),
caption = '표준 유클리드 거리'
)| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 거리 |
|---|---|---|
| 2 | 4 | 1.663576 |
| 2 | 5 | 1.954486 |
표준화된 거리로는 객체 5가 객체 4보다 객체 2에서 멀리 떨어짐을 알 수 있다.
유클리드 거리 외에 민코프스키 거리, 마할라노비스 거리 등은 dist함수의 파라미터 method 및 p값을 설정하여 계산할 수 있다.
11.3.2 상관계수 관련 척도
또 다른 유사성 척도로 다음과 같은 객체 간의 상관계수를 사용할 수 있다.
\[\begin{equation} sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = r_{ij} = \frac{\sum_{a = 1}^{p} (x_{ai} - m_{i})(x_{aj} - m_{j})}{\sqrt{\sum_{a = 1}^{p} (x_{ai} - m_{i})^2} \sqrt{\sum_{a = 1}^{p} (x_{aj} - m_{j})^2}} \tag{11.1} \end{equation}\]
여기서 \(m_i\)는 객체 \(i\)의 평균값으로 다음과 같다.
\[\begin{equation*} m_{i} = \frac{1}{p} \sum_{a = 1}^{p} x_{ai} \end{equation*}\]
식 (11.1)은 -1에서 1 사이의 값을 가지며, 값이 클수록 두 객체의 유사성이 크다고 할 수 있다. 여기서도 데이터를 변수별로 표준화한 후 상관계수를 산출함을 추천한다.
아래는 Table 11.1의 객체 1과 객체 6, 8간의 상관계수를 계산한 것이다.
t(scale(df[, c("x1", "x2", "x3")])) %>%
corrr::correlate() %>%
corrr::stretch(na.rm = TRUE) %>%
mutate(
x = as.integer(gsub("V", "", x)),
y = as.integer(gsub("V", "", y))
) %>%
filter(
x == 1,
y %in% c(6, 8)
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '상관계수'),
caption = '객체 간 상관계수'
)##
## Correlation method: 'pearson'
## Missing treated using: 'pairwise.complete.obs'| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 상관계수 |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 0.9718362 |
| 1 | 8 | -0.8348917 |
한편, 상관계수로부터 거리 개념의 비유사성 척도를 원하면 다음의 척도를 사용할 수 있다.
\[\begin{equation*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = 1 - r_{ij} \end{equation*}\]
t(scale(df[, c("x1", "x2", "x3")])) %>%
corrr::correlate() %>%
corrr::stretch(na.rm = TRUE) %>%
mutate(
x = as.integer(gsub("V", "", x)),
y = as.integer(gsub("V", "", y)),
d = 1 - r
) %>%
select(-r) %>%
filter(
x == 1,
y %in% c(6, 8)
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '거리'),
caption = '상관계수 기반 비유사성 척도'
)##
## Correlation method: 'pearson'
## Missing treated using: 'pairwise.complete.obs'| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 거리 |
|---|---|---|
| 1 | 6 | 0.0281638 |
| 1 | 8 | 1.8348917 |
11.4 범주형 객체의 유사성 척도
객체의 변수(속성)들 중 일부 또는 전체가 범주형인 경우에는 유사성 척도를 다소 다르게 정의할 필요가 있다. 범주형 변수는 다시 이분형(binary), 서열형(ordinal), 명목형(nominal)으로 구분된다. 이분형은 서열형 또는 명목형에 속할 수도 있으나, 통상적으로 별도로 구분하고 있다.
11.4.1 이분형 변수의 경우
이분형 변수란 변수가 취하는 값이 두 개인 것을 의미하며, 통상 0과 1을 부여한다. 이 경우 사용되는 유사성 척도는 다양하나, 단순매칭(simple matching)과 자카드(Jaccard) 척도가 주로 사용된다.
- 단순매칭
객체 \(\mathbf{x}_i\)와 \(\mathbf{x}_j\)에 대하여 \(k\)번째 변수가 이분형일 때, 해당 변수값에 대한 유사성을 아래와 같이 계산한다.
\[\begin{equation*} sim(x_{ki}, x_{kj}) = \begin{cases} 1 & \text{if } x_{ki} = x_{kj}\\ 0 & \text{if } x_{ki} \neq x_{kj} \end{cases} \end{equation*}\]
객체의 \(p\)개의 모든 변수가 이분형일 때, 두 객체의 유사성은 아래와 같이 변수별 유사성의 평균으로 계산한다.
\[\begin{equation*} sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \frac{1}{p} \sum_{k = 1}^{p} sim(x_{ki}, x_{kj}) \end{equation*}\]
- 자카드(Jaccard) 척도
자카드 척도에서는 변수값을 특정 속성이 나타나는(presence) 경우에 1, 나타나지 않는(absence) 경우 0으로 표현할 때, 두 객체에서 모두 나타나는 경우에만 유사한 것으로 평가한다. 결국, 이 척도에서는 두 객체에서 특정 속성이 0인 경우에는 전반적 유사성 척도 산출에 포함되지 않고 무시된다.
\[\begin{equation*} sim(x_{ki}, x_{kj}) = \begin{cases} 1 & \text{if } x_{ki} = x_{kj} = 1\\ \text{ignored} & \text{if } x_{ki} = x_{kj} = 0\\ 0 & \text{if } x_{ki} \neq x_{kj} \end{cases} \end{equation*}\]
따라서, 객체의 \(p\)개의 모든 변수가 이분형일 때, 두 객체의 유사성은 아래와 같이 계산한다.
\[\begin{equation*} sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \frac{\sum_{k: x_{ki} + x_{kj} > 0} sim(x_{ki}, x_{kj})}{\sum_{k: x_{ki} + x_{kj} > 0} 1} \end{equation*}\]
다음은 3명에 대한 건강 관련 문진에 대한 답을 나타낸 자료이다.
df <- tribble(
~id, ~x1, ~x2, ~x3, ~x4, ~x5,
1, 1, 1, 1, 0, 1,
2, 1, 0, 1, 0, 0,
3, 0, 1, 0, 1, 0
)
df %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r', 'r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호', '운동여부($x_1$)', '음주여부($x_2$)', '흡연여부($x_3$)', '가족력여부($x_4$)', '고혈압여부($x_5$)'),
caption = '건강 문진'
)| 객체번호 | 운동여부(\(x_1\)) | 음주여부(\(x_2\)) | 흡연여부(\(x_3\)) | 가족력여부(\(x_4\)) | 고혈압여부(\(x_5\)) |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 |
객체 1과 2의 단순매칭에 의한 유사성은 다음과 같다.
similarity_simplematching <- function(vec_1, vec_2) {
sum(1 - abs(vec_1 - vec_2)) / length(vec_1)
}
df_pairs <- df %>%
select(id) %>%
expand(id_1 = id, id_2 = id) %>%
filter(id_1 != id_2)
df_pairs$similarity <- df_pairs %>%
inner_join(df, by=c("id_1" = "id")) %>%
inner_join(df, by=c("id_2" = "id")) %>%
rowwise() %>%
do(similarity = similarity_simplematching(
.[c("x1.x", "x2.x", "x3.x", "x4.x", "x5.x")] %>% unlist(),
.[c("x1.y", "x2.y", "x3.y", "x4.y", "x5.y")] %>% unlist())) %>%
unlist()
df_pairs %>%
filter(
id_1 == 1,
id_2 == 2
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '유사도'),
caption = '단순매칭 유사성 척도'
)| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 유사도 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0.6 |
한편 자카드 유사성은 아래와 같이 함수 dist를 이용하여 구할 수 있다. 함수 dist는 거리 척도 함수로, 자카드 기반 거리의 경우 \(d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = 1 - sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\)를 계산한다. 따라서, 거리값에 기반하여 자카드 유사성을 구하고 싶은 경우, \(sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = 1 - d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j)\)를 계산하면 된다.
dist(df[, -1], method = "binary", upper = TRUE) %>%
broom::tidy() %>%
mutate(similarity = 1 - distance) %>%
select(-distance) %>%
filter(
item1 == 1,
item2 == 2
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '유사도'),
caption = '자카드 유사성 척도'
)| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 유사도 |
|---|---|---|
| 1 | 2 | 0.5 |
11.4.2 서열형 변수의 경우
객체의 \(k\)번째 변수가 서열형이고 \(1, 2, \cdots, M_k\) 중 한 값을 갖는다고 할 때, 거리척도로는 우선 아래와 같은 직접적 방법이 있다.
\[\begin{equation*} d(x_{ki}, x_{kj}) = \frac{|x_{ki} - x_{kj}|}{M_k - 1} \end{equation*}\]
위에서 분모는 해당 변수가 취할 수 있는 범위(range)를 나타내며, 따라서 위의 값은 0에서 1 사이 값을 갖는다. 이 방법을 사용할 경우, 객체의 모든 변수가 서열형이면 두 객 체의 거리는 다음과 같다.
\[\begin{equation*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \sum_{k = 1}^{p} d(x_{ki}, x_{kj}) = \sum_{k = 1}^{p} \frac{|x_{ki} - x_{kj}|}{M_k - 1} \end{equation*}\]
또 다른 방법은 우선 각 변수를 0에서 1 사이의 값으로 변환한 후, 연속형 변수의 경우와 같이 거리척도를 산출하는 것이다. 이 경우 객체 \(i\)의 \(k\)번째 변수는 다음과 같이 변환한다.
\[\begin{equation*} x_{ki}' = \frac{x_{ki} - 1}{M_k - 1} \end{equation*}\]
11.4.3 명목형 변수의 경우
두 객체에 대한 \(k\)번째 변수가 명목형인 경우, 이분형 변수의 경우와 같이 두 변수가 일치하면 1, 그렇지 않으면 0으로 유사성을 평가한다. 즉,
\[\begin{equation*} sim(x_{ki}, x_{kj}) = \begin{cases} 1 & \text{if } x_{ki} = x_{kj}\\ 0 & \text{if } x_{ki} \neq x_{kj} \end{cases} \end{equation*}\]
\(p\)개의 모든 변수가 명목형인 경우, 두 객체 간유사성은 다음과 같다.
\[\begin{equation*} sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \frac{1}{p} \sum_{k: x_{ki} = x_{kj}} 1 \end{equation*}\]
11.4.4 혼합형의 경우
두 객체의 유사성 또는 비유사성을 산출하는 데 각 변수의 형태가 연속형, 이분형, 서열형, 명목형 등으로 다른 경우에는, 각 변수의 형태에 따라 위에서 언급한 바와 같이 각기 다른 방법으로 유사성 또는 비유사성을 평가한 후, 최종적으로 합 또는 평균으로 도출하게 된다. 따라서 편의상 각 변수에 대하여 0에서 1 사이의 값을 갖는 척도를 사용하고 있다. 위에서 언급한 이분형, 서열형, 명목형인 경우에는 이미 0에서 1 사이의 유사성 척도가 제시되었다.
연속형의 경우, 0에서 1 사이의 값을 갖는 거리(비유사성)의 척도로는 아래와 같이 각 변수의 범위를 활용하는 방법을 사용한다.
\[\begin{equation*} d(x_{ki}, x_{kj}) = \frac{|x_{ki} - x_{kj}|}{R_k} \end{equation*}\]
여기서 \(R_k\)는 \(k\)번째 변수의 범위(=최대값 - 최소값)를 의미한다. 유사성 척도를 원할 경우에는 다음과 같이 산출할 수 있다.
\[\begin{equation*} sim(x_{ki}, x_{kj}) = 1 - d(x_{ki}, x_{kj}) \end{equation*}\]
결국, 여러 형태의 변수가 혼합되어 있는 경우, 각 변수에 대한 유사성 척도가 산출되어 있을 때, 두 객체의 유사성은 다음과 같이 계산한다.
\[\begin{equation*} sim(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \frac{1}{p} \sum_{k = 1}^{p} sim(x_{ki}, x_{kj}) \end{equation*}\]
또는 각 변수의 거리가 산출도니 경우, 두 객체의 거리는 다음과 같다.
\[\begin{equation*} d(\mathbf{x}_i, \mathbf{x}_j) = \frac{1}{p} \sum_{k = 1}^{p} d(x_{ki}, x_{kj}) \end{equation*}\]
위에 설명한 혼합형 거리 척도는 Gower (1971) 에 기반하며, R에서는 cluster 패키지의 daisy 함수를 이용하여 구할 수 있다. daisy 함수는 연속형 및 서열형 변수의 경우 입력 데이터에 기반하여 range를 계산하므로, 입력 데이터의 최소값, 최대값이 아닌 이론적 최소값, 최대값에 의하여 range를 계산하고 싶은 경우에는 명시적으로 각 변수의 최소값과 최대값을 나타내는 데이터를 입력 데이터에 추가하여야 한다.
df <- tribble(
~id, ~x1, ~x2, ~x3, ~x4, ~x5,
1, "남", 46, "공무원", 35000, 2,
2, "여", 28, "은행원", 51000, 3,
3, "여", 32, "주부", 46000, 4
) %>%
mutate(
x1 = factor(x1, levels = c("남", "여")),
x3 = factor(x3),
x5 = factor(x5, levels = c(1:5), ordered = TRUE)
)
n_obs <- nrow(df)
range_df <- tibble(
x2 = c(25, 70),
x4 = c(0, 150000),
x5 = factor(c(1, 5), levels = c(1:5), ordered = TRUE)
)
df %>%
bind_rows(range_df) %>%
select(-id) %>%
cluster::daisy() %>%
as.dist() %>%
broom::tidy() %>%
filter(
item1 <= n_obs,
item2 <= n_obs
) %>%
knitr::kable(
booktabs = TRUE,
align = c('r', 'r', 'r'),
col.names = c('객체번호(from)', '객체번호(to)', '거리'),
caption = '혼합형 Gower 거리'
)## Warning in Ops.factor(item1, n_obs): '<=' not meaningful
## for factors## Warning in Ops.factor(item2, n_obs): '<=' not meaningful
## for factors| 객체번호(from) | 객체번호(to) | 거리 |
|---|